Inecuaciones Cuadráticas

 INECUACIONES CUADRATICAS

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

• Hallar la solución de inecuaciones de la forma a x 2 + b x + c < 0 .
• Expresar la solución de inecuaciones cuadráticas en la forma de intervalo o como conjunto.
• Trazar en la recta real la solución de inecuaciones cuadráticas.

Introducción

Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.
En el tutorial de Ecuaciones Cuadráticas, vimos que la gráfica de y= a x 2 + b x + c es una parábola. En el tutorial de Inecuaciones Lineales vimos que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax + b > 0 En esta sección vamos a ver que a x 2 + b x + c = 0 es la frontera entre ax 2 + b x + c < 0 y a x 2 + b x + c > 0. 

Ahora notamos lo siguiente:

• x 2 + 4 x - 5 = 0 se puede visualizar como los valores de x en la curva y= x 2 + 4 x - 5 donde y = 0. Mirando los interceptos en x, y = 0 cuando x = -5 y x = 1.
• Los valores de x = -5 y x = 1 dividen el eje de x en 3 partes.
• Cuando x < -5 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.
• Cuando -5 < x < 1 los valores de y son negativos asi x 2 + 4 x - 5 <0 . Los puntos se ven en rojo.
• Cuando x > 1 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.

Como conclusión, podemos ver que x 2 + 4 x - 5 = 0 es la frontera entre x 2 + 4 x - 5 < 0 y x 2 + 4 x - 5 > 0 .

Método para resolver inecuaciones cuadráticas

Para resolver una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación quede de la forma a x 2 + bx + c < 0
2. Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.
3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
5. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
• Como intervalo
• Como conjunto
• Gráficamente

Ejemplos

Ejemplo 1:
Resolver la siguiente inecuación x 2 + 4 x - 5 ≥ 0
Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general a x 2 + b x + c ≥ 0 . En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general.
Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática. x 2 + 4 x - 5 = ( x + 5 ) ( x - 1 )
Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
x + 5 = 0 x = - 5	x - 1 = 0 x = 1
Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo. Intervalo Punto de Prueba Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba. ( - ∞ , - 5 ) x = -6 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) - 5 = 7 ( - 5 , 1 ) x = 0 ( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) - 5 = - 5 ( 1 , ∞ ) x = 2 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 5 = 7
Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 0 . La solución se puede expresar de distintas formas: Expresando la solución como conjunto:x x ≤ -5 ó x ≥ 1 Expresando la solución como intervalo( - ∞ , - 5 ] ∪ [ 1 , ∞ ) Gráficamente